PRIMEIRA PROVA DE CÁLCULO NUMÉRICO - 2003

(1º semestre – 12 pontos)

Questão 1-Seja um computador binário, cujo sistema de ponto flutuante tenha 1 bit para o sinal do número, 3 bits para o expoente e 6 bits para a mantissa num total de 10 bits. (2 pontos)

a-      represente, nele, os números r = 2,125 , s = -2,5 , t = 0,55.

b-     que número é representado por 1000010100 ?

c-      qual o maior número positivo nele representável ?

d-     qual o maior número menor que 1 ?

 

Resolução

Análise do expoente:

 

000

001

010

011

100

101

110

111

-2

-2

-1

0

+1

+2

+3

reservado

 

a) represente, nele, os números r = 2,125 , s = -2,5 , t = 0,55.

r = 2,125    = 10,001 = 1,0001 . 21

 

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

 

s = -2,5       = -10,0 = - 1,01 . 21

 

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

 

t = 0,55       = 0,100011001100... = 1,000110011... . 2-1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

 

b) que número é representado por 1000010100 ?

 

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

 

-0,0101 . 2-2 = - 0, 000101 = -( 2­-4 + 2­-6 ) = -0, 078125

 

c) qual o maior número positivo nele representável ?

 

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

 

1,111111 . 23 = 1111,111 = 15,875

 

d) qual o maior número menor que 1 ?

 

1 = 1,0 = 1,000000 . 20

maior número menor que 1 será: 1,111111 . 2-1 =

= 0,1111111 = 1 – 2­-7 = 0,9921875

 

Questão 2-No cálculo da raiz de  f(x) = e -x – 3x –3 = 0 , pelo método da iteração linear, fazem-se as transformações:

 

·      x = g1(x) = ( e –x –3 ) / 3

 

·      x = g2(x) = e -x - 2x – 3

 

·      x = g3(x) = - ln(3+3x)

Obtenha, graficamente, uma boa  estimativa xo , da raiz. (1 ponto)

Indique, sem iteragir, que função ou funções irão convergir para a raiz. (1 ponto)

 

Resolução

 

 

Como vemos, fazendo e
-x = 3x + 3, temos que x0 = - 0,5 é uma boa estimativa para a raiz.

Para ver quais funções convergiriam para a raiz, tem-se que calcular as derivadas.

g1’(x) = - e –x / 3 onde g1’(-0,5) = -0,55        que estando entre (-1,+1) garante a convergência.

g2’(x) = -e -x – 2 onde g2’(-0,5) = -3,65 não convergindo

 

g3’(x) = - 3/(3+3x) onde g3’(-0,5) = -2 não convergindo.

Logo, só podemos garantir a convergência da função g1(x).

 

Questão 3-Pelo método de Newton-Raphson, calcule a raiz  positiva da equação

f(x) = e x – 2cos(x) = 0, com erro menor que 0.001. (1 ponto)

Resolução

Vamos estimar graficamente a raiz, fazendo ex = 2 cos(x).

 


Vê-se que a raiz é aproximadamente 0,5. Logo x0 = 0,5.

 

Sendo f(x) = e x – 2cos(x), tem-se f’(x) = e x + 2sen(x).

 

Fazendo-se xi+1 = xi – f(xi)/f’(xi+1) tem-se:

xi+1 = xi – (e xi – 2cos(xi )/( exi + 2sen(x)).

Daí a seqüência:

x0 = 0,5       x1 = 0,54082 com Dx = 0,04082 > 0,001

x1= 0,54082 x2 = 0,53979 com Dx = 0,00103 > 0,001

x2 = 0,53979 x3 = 0,53979 com Dx = 0 < 0,001.

Logo r @ 0,53979 ou r @ 0,540.

Questão 4-Resolva o sistema A.X = B , abaixo, pelo método iterativo de Gauss Seidel,  fazendo neste três iterações completas, partindo de (0,0,0) e usando 2 casas decimais. (1 ponto)

     5 X1 -  2 X2           =    1,0

    -1 X1 +  5 X2 –  1 X3    =    10,0

          -  2 X2 +  5 X3   =    -9,0

Resolução

Método de Gauss-Seidel

x1 = (1,0 + 2 x2) / 5

 

x2 = (10,0 + x1 + x3) / 5

x3 = (-9,0 + 2x2) / 5

Seqüência de iterações:


Raízes: x1 = 1,00   x2 = 2,00      x3 = -1,00

 

Questão 5- Resolva a questão anterior pelo método LU. (1 ponto)

Resolução


 

Ao se fazer L2 – (-1/5) L1 , isto é: L2 + (1/5) L1  tem-se:


 

Ao se fazer L3 – (-2/4,6)L2 , isto é: L3 + (2/4,6) L2 tem-se:

 

 

 

 

 


ou:

 


A = L . U

 


 

 

 

 

 

 

A . X = B    L . U . X = B         fazendo U . X = Y , tem-se:

 

L . Y = B     que é um sistema triangular de fácil solução.

 


Logo: Y1 = 1         -0,2 + Y2 = 10 logo Y2  = 10,2  

-0,43 . 10,2 + Y3 = -9 logo Y3 = -4,61


Mas U.X = Y , logo:


Assim:

X3 = -1,01

4,6 X2 + 1,01 = 10,2 donde X2 = 2,00

5X1 – 4 = 1 donde X1 = 1,00

Assim:


Questão 6-Calcule, com erro menor que 0,1 , as 3 raízes do polinômio abaixo, por Birge-Vieta. Trabalhe com 2 casas decimais. (1,5 pontos)

P(x) = 1,0 x3 – 14  x2 + 35  x  +  50  = 0

Resolução x0 = 0

 

 

1

-14

35

50

0

1

-14

35

50

0

1

-14

35

 

 

 

x1 = 0 – 50/35 = -1,43

 

 

1

-14

35

50

-1,43

1

-15,43

57,06

-31,60

-1,43

1

-16,86

81,17

 

 

 

x2 = -1,43 – (-31,60)/81,17 = -1,04

 

 

1

-14

35

50

-1,04

1

-15,04

50,64

-2,67

-1,04

1

-16,08

67,36

 

 

x3 = -1,04 – (-2,67)/67,36 = -1,00

 

 

1

-14

35

50

-1,00

1

-15

50

0

 

r1 = -1,00

 

x0= -1,00

 

 

1

-15

50

-1,00

1

-16

66

-1,00

1

-17

 

 

x1 = -1,00 – 66/(-17)= 2,88

 

 

1

-15

50

2,88

1

-12,12

15,09

2,88

1

-9,24

 

 

x2 = 2,88 – 15,09/(-9,24)= 4,51

 

1

-15

50

4,51

1

-10,49

2,69

4,51

1

-5,98

 

 

x3 = 4,51 – 2,69/(-5,98) = 4,96

 

 

1

-15

50

4,96

1

-10,04

0,20

4,96

1

-5,08

 

 

x4 = 4,96 – 0,20/(-5,08) = 5,00

 

 

1

-15

50

5,00

1

-10

0

 

r2 = 5,00

 

x0 = 5,00

 

 

1

-10

5,00

1

-5

5,00

1

 

 

x1 = 5,00 –(-5/1) = 10,00

 

 

1

-10

10,00

1

0

 

r3 = 10,00

 

Raízes: -1,00    5,00     10,00

 

 

 

 

Questão 7 – O que entende por matriz mal condicionada? Que cuidados devem ser tomados quando aparecem em sistemas lineares. (0,5 ponto) O que entende por convergência linear e convergência quadrática, no cálculo de raízes ?(0,5 ponto) Explique a importância do Método LU.(0,5 ponto)

 

Resolução

Entende-se por Matriz Mal Condicionada a matriz cujo determinante é muito pequeno quando comparado com a ordem de grandeza de seus elementos. (uma definição mais precisa exigiria definir norma de matriz). São matrizes que, quando envolvidas na solução de sistemas lineares, tornam os resultados pouco confiáveis, pois pequenos arredondamentos nos componentes da matriz, ou em resultados intermediários, alteram profundamente o cálculo final das raízes do sistema. Tendo um Sistema Linear uma matriz mal condicionada, os cálculos deverão ser feitos com a maior precisão possível, procurando-se minimizar a propagação desses erros, que são críticos nesse caso, podendo levar a resultados profundamente diferentes dos verdadeiros.

 

 

Convergência– quando se calcula uma raiz de uma equação por um processo iterativo, busca-se, a cada nova iteração, aproximar-se mais e mais do verdadeiro valor da raiz. Em cada iteração, entretanto, há um erro associado a ela. Num método que convirja, a tendência é a da diminuição dos erros, que deverão tender a zero.

Se o erro de uma iteração é  aproximadamente proporcional ao erro da iteração anterior, isto é, ei+1 » k.ei , diz que a convergência é linear, sendo |k| < 1.

Se ei+1 » k ei2 , isto é, se cada novo erro é proporcional ao quadrado do erro anterior, diz-se que a convergência é quadrática.

Admitindo-se que os erros sejam pequenos, o quadrado do erro tende a zero mais rapidamente, daí a convergência quadrática ser mais rápida que a convergência linear.

 

Método LU para resolução de Sistemas Lineares– nesse método, fatora-se a matriz do sistema no produto de duas matrizes: uma triangular inferior e outra triangular superior. Assim, transforma-se um sistema A.X = B num sistema L.U.X = B, onde L é uma matriz triangular inferior e U uma matriz triangular superior.

Chamando-se U.X de Y , tem-se o sistema L.Y = B, de imediata solução, pois L é uma matriz triangular.

Calculado o vetor Y, passa-se ao sistema U.X = Y, também triangular e de solução imediata.

Assim calcula-se X, que é a solução do sistema A.X = B.

É muito comum, na prática, ter-se que resolver sistemas onde só muda o vetor B, considerado, em geral, a carga do sistema. A solução fica acelerada pela fatoração inicial da matriz A e a resolução posterior de dois sistemas triangulares. Para  cada novo vetor B, lado direito do sistema, repete-se a solução dos dois sistemas triangulares, de solução rápida.